Histogram Filter with Adjustment of the Smoothing Parameter based on the Minimization of the Chi-Square Test

Table of contents

1.

?????????? ? ???????, ? ????????, ?? ???????????? ???????????. ? ?????? ???????????? ???????????? ???????????? ???????? ?????????? Ð?"?, ??????????? ?? ????????? ?????????? ??????, ???????????? ???????????? ???????????, ??????? «??????????» ????????????? ?????? ?????????????, ???????????? ??????????? «??????????» ????????????? ?? ????? ?????????? ????????????? ??????.

? ?????? ??????????? ????, ???????????? ? [6]. ?????? ?????, ?????????????? ?????????? ?? ????????? ??????? ????????? ?????? ? ???????? ?????????????: ?????? ????? ?????????? ?????? ?????? ????????? ? ??? ????????? ????? ?????????? ????????? ? ???????? ?????????; ??? ???????????? ?????????? ?????????? ??????, ?????????? ??????? ???????????? ??????????? ????? ???? ???????????? ???????????? ?????? ?? ?????????? ???????? ??????????.

? ???? ?????? ????????????? ???????? ????????? ??????? ????????? ?????????? ????????, ??????????? ????????? ??? «????????» ???????? ? ???????? ????????? ??????. ?????????? ????? ????? ??????? ????? ???? ??????????????? ???????? ??????????????? ?????? ??????????? ????????? ?????????????.

???????? ???????, ? ????? ????????????????, ??????? ???????? ?????? ??????? ??????????? ???????.??????????????????? ?????? ?????????????? ??????? ????? ???? ???????????? ? ????:

1 1 j j j j j j j u v k v v ? + = ? + + ? , 1 j j j k ? + + ? = , ??? j

v????? ?????? ???????? ? j-??? ???????? ?????????????, { ; ; } j j j k ? ???????? ???????????? ?????????? (????????? ???????????). ? ?????????? ?????? ??????? ???????????? ???????? ??????????? ?????????? ? ????? ???? ???????? ????? ???? ??????????? k???????? ???????????. ???????? ??????? ????????????? ??? ????? ??????? ?????? ????????? ???????????????? ??? ?????? ???, ????? ?????????? ??????? ???????????? ???????????, ???????? ??? ???? ?? ???????????? ? ??????? ?????????????.

?????????? ????????? ???????????, ????????, ??????? ????????? ????????? ?????????? ? ???????????????? ???. ? ?????? ??????????????, ??? ????? ????????????? ?????????? ? ??????? ???????? ???????? ??-???????, ????????????? ???????? ????? ???????? ?? ????????????? ? ????????? ???? ???????????????? ???. ????? ???????, ????????? ?????????? ???????? ???????????? ? ??????????? ????????? ?????????? Ð?"?.

???? ?????? ??????? ? ?????????? ?????????????? ??????? ? ?????????? ????????? ??????????? ?? ?????? ??????????? ???????? ?? ??????? ? ?????? ????????? ?????????? ?? ???????????????? ???.

2. II. ??????????? ???????????? ??????????? ?????????????? ???????

????? ??????? ??????? ????????? ?????? { }

i x . 1, i n = ? ?????????? ????????? ???????? ?????? ?? m ???????????????? ? ??????????? ???? ? ????? ?????????? j A , 1, j m = ?????? ????? 1 / x j j X X R m + ? = ? = . 1 max max m i i X x x + = = . 1 min min i i X x x = = . ??? j X -??????? ??????????, max min x R x x m = ?

=??????? ????????? ??????. ??????? ??????? ???????????? ???????, ???????????? ??? ??????????? ??????? ?????????? ???????????,??????? ??????????? ???????? ( )

j i x µ , 0 1 j ? µ ? , ? ???????? ??????????? 3 x µ ? = ? ? ??????? ????? ??????????????? ?????????????? ?????? ????????? ????????????? j A .

??? ???? ????? ??????? ??????? ?????? ?????????????? ? ?????? ??????? ??????????:

( )( 1 , 1 , 3)/( 1) ( 1) 1, , 2, -1, 1, , 1, . t m m j j t t j j t m t m j t m j t m ? ? ? + ? + = ? ? µ = = ? ? µ = = ? ? ? ? (1)

?????????????? ???????? , j t µ ???????????, ?? ?????????? ?? ??????? ?????? ?????????: ??? ???????? k??????????? ???????????. ??????? ?????????? (1) ??? ???? ??????????? ?????????????. ????? ?????????, ??????????? ???????? Ð?"? ????? ???

( )( 3)/( 1) ( 11 1 ) , 2, 1 , (1 ) , 1, , (1 )

/ 2.

j j j j j j j m m m m u v kv v j m u v v j m k ? + ? ? + ? ? ? = ? + + ? = ? ? = ? ? + ? = ? ? ? = ? ? (3)

????? ???????, ?????? ?????????? ??????????? Ð?"? ???????? ? ?????????? ???????????? ??????????? ?? ?????????? ? ????? ?????? ? ????????? ?????????? ?? ???????????????? ???.. ????????? ? ???????? ???????? ?????? ???????????? ??????????? ???????? ??-??????? ? ??????? ?????

j v ? ???????? 2 ( ) v ? ?? ????? 1 1 j j j j u v kv v ? + = ? + + ? ??? 2, 1 j m = ? ? ( )( 3)/( 1)( 1)

(1 )

j m m j j m m u v v ? ? ? + ? = ? ? + ? ??? 1, j m = , ??????? 2 2 ?? 1 ( ) / min m j j j k j u u np np = ? ? ? = ? ? ? ? ?(4)

??????? ??????????????? ?????? (4) ???????? ? ????????? ??? ???????????? ??????????? ?? ??????? ??????

1 2 ??? 1 1 1 2 1 1 1 2 / ( ) / 1 2 / / , m m j j j j j j j m m j j j j j j j j k U n v np U n U p p p p n v U n ? = = ? = = ? ? = + ? = ? ? ? ? ? ? = + ? ? ? ? ? ? ? ?(5)

???

1 1 2 j j j j U v v v ? + = ? + -???????? ???????? ??????? ??????? ??? ???????? 2, 1, j m = ? ? ( )( 3)/( 1) ( 1) j j j m m m m U v v ? ? ? + ? = ? + ??? ???????? 1, j m = ; 1 0 m j j U = = ? ; j p -?????????????? ???????????.

?????????????? ????????????? ??????? (5) ???????? ? ???????????

0 1 4 1 2 2 2 4 1 1 1,5 0,5( 0,25 ) 0 1 , 5 ( ) 2 x x x k n I I I m ? ? ? ? + ? = ? + + ,(6) ??? (

)

2 * * * 1 / R I f f fdx ? = ? , ()2 * * * 2 / R I f f fdx ?? = ? -?????????????????????????? ???, ????????????? ?????????? ?????? ??????? ? ??????? ??????? [7], , 0 lim / x j x m f p ?? ? ? ? ? = ? ? ? -?????????????? ???, * , 0 lim / x j x m f v n ?? ? ? ? ? = ? ? ? -?????????? ???????????????? ???, R fdx = ? ? -????????????? ???????????.

???????? ?????????? ??????????? ??????? (6), ??? ???? ??????????????? ?????????? ??????????, ???????? ? (5). ???????????? ?????????????-?????????????????? ??????, ??????????? ??????? ? ???????????? ????????????? ???????? ? ????????? ??????????:

1 0 * lim / ( ) / ( / ) x m j j j m R U n f R d p m f x ? ? ?? = ?? = ? ? , 1 1 1 1 1 1 2 1 ( ) 2( 1) 2( 1) m m j j j j j j j m m m j j v U v v v p p p v U v U n p m m n n n n ? ? + = = ? ? ? ? + = ? + ? + + + = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? M M (7) * * * * * * 1 1 2 2 * * * * * * 1 1 1 1 2 2 j j x x x x j j f f f f f f a b f f f f f f ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? = = ? ? + ? = = + ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 0 0 1 0 0 4 lim lim 2 2 ( ) ( ) 2 lim lim 4 ( )( 1)

x x

x x m m j j j j m j j m j j j j j j m m m m j j j j m U v v v n n v v p v v v v v v v v n n n M p p p a b n m p ? ? + ?? ?? = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + ? ?? ?? = ? ? ? ? + + = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? + ? + ? + + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + + ? ? ? ? ? ? M M M M [ ] 2 * 4 * 4 * 1 22 2 ( ) 8 6( 1) 2 ( 1) 0,5 ( 1)

x

x x M ab n m I m I m I n + ? = = ? + ? ? + ? ? + ?1 / 3 1 k ? ? .

??-??????, ?????????? ???????? ???????????? ??????????? (5) ? ??????? (4) ??? ???????? ???????? ????????? ?????????????????

1 2 2 Ð?"? 2 2 1 1 / ( ) / ( ) m m j j j j j j j u U n v U p p n v ? = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ?

, ?? ???????? ??????? ??????????? ????? ??????????????? ?????????? ???????? ??-???????:

( ) ( ) ????????? (9) ??????????, ????????? ????????? ??????? ??????? ? ????? ??????. ?????? ????????? (9) ????????????????? ????????????????? ?????????? ???????????????? ??? ? Ð?"?. ???, ? ?????????, ????????? ??????? ?????????? ?????, ??????????? ???????? ??????????? ???? ?????????? ? ??????????????? ???????? ?? ?????? ? ??? ??? ???? ???????.? ???? ?????? ?????? ?????? ???????? ?????? [9,10], ???????? ?????????? ?????? ??????? ? ??????? ??????? ???????????? ???????????????? ???.

2 2 ?? k ? = ? ? ? , ( )2I ? 1 2 1 ( ) 1 3/2 ( ) 2e ( ) Er D f D D D Erf Erf Erf ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 I D -2 2 I ? ( ) 1 2 1 ( ) 1 1 2 2 7/2 ( ) 2 2 e ( )2 ( )D Erf Erf Erf Erf D Erf D D D ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ?2. ???????????? ?????????: / 2 x e ?? ? 1 I ? 2 1 I ? ( ) ( ) 2 1 1 ? ? ? + ? ? ? 2 I ? 4 2 I ? ( ) ( )4

? ????????? ??????? ???????, ? ????? ????????? ??????? ????????????? ????????? ??????????? ?????????? ??? ? Ð?"?, ????????? (9) ???????? ?????????.

I I I n K m ? ? ? + ? ? = + , ??? / x R m ? = , 0 0 1 0 ?? ?? (? ) ( ? 1 3 ) K ? ? ? = . 0 1 ?? 0 ? k ? = (9)

??-??????, ???? ??????????? ??????????? ????? ??????????????? ?????????????? ( )

0 a n x bx x K + + ? =, 0,25 b c = , 1 1 ( ) 2 ( ) a n R I n b ? = .(10)

????????? ( 10) ????????? ? ????????? ???????? ????????? ???????????? ??????????? ????????? ???????????????? ??? ? Ð?"?.

??-??????, ?????????? ????? ????????? ??????????? (6) ? ??????????? ??????????? ????????, ??? ? ??????????? ????? ?????? ?????????? ??????? ??????????, ?????????? ???????? n. ????? ????????? (9) ????? ????????????? ? ???? ( )

0 2 4 4 2 1 I m n K m R ? =(11)

Ð?"?? ?????? 1 m >> ???????? ???????????? ????????????? ??????? ??????????? ????????? (11):

4 4 0 2 0,5 1 / n I m R K m ? ? .

?????????? ????????????? ?????????? ?????????? ???????????????? ?????????? Ð?"? ? ????? ??????????? ? ??????? (?? ????? ??????? ??????) ????????????? ???????????? ??????? ????????????? ? ???????????? ??????????, ??? ????????? ?????????? ???????????. ??????????? ?????????? Ð?"? ????? ???????????? ? ???????????? ???????? ????????? ?????????? ??????????, ????????, ? ??????? hist, histfit ????????? Matlab. ????????? ????????? ????????????? (?????????????) ??? ?????????. 1. ????????? ??????? ??????, ??????? n, ??????????? ??????? ??????? R. ??????????? ??????????? ????? ??????????????? ?????????? ???????? ???????? ??-??????? ??? ??????????? ??????? ?????????? ????????????? ?????? ? ? ?????????????? Ð?"?. ????? ??????????? ???????????? ????????????? ??????????? (5), (6). ????????? ???????? ???????????? ??????????? ??????? ?? ??????????: ?????? ??????, ????? ?????????? ?????????????, ?????????????? ????????????? ??? (??????? 1). ??????????? ???????????? ??????????? ?? ????????? ?????????? ????????? ?????????? ??????????? ????? ???????????

Figure 1. . 1 I ? * 2 I??????? 1 :
121????? ???????, ?????????? Ð?"? ????????? ????????? ???????? ???????????? ???????? ???????? ? k ???. ??????????? ???????? ? ??????????? ?????????? ????????????? ???????????????? ?????????? ? ????????????? ????????????? Ð?"?. ???, ??? ????????? ????????? ?????????? ??????????? 1 ? < , ???????? ???????? ??-??????? ????? ?????????? ??????? ??????????? ??????????? ? 3 ????, ? ????????? ?????? ??? n ? ? ( 1 k ? ) ???????? ???????? ??-??????? ????????? ? ???????????? ( ) Ð?"? ????? ????????? ????????? ???????? ???????? ???????????? ???????????: , ??????????? ??????? ????????????? ???????? ?????? ???, ????????? * f ???????????????????????????? ????????? ????? ???????? ?????????????? f ?, ?????????????, ???????? * ????? ????????? ? ???????????? ???????????? ???????????? ?????? ??????? ? ??????? ??????? * ??? ????????? R(??????? 1). ? ???? ??????, ??????? (6) ?????????? ????????? ????????????. ????????, ??? ?????????? ????????????? 1 I ? , 2 I ? ??????? ????????????? ?????? ? ?????? ??????????? ???. ??????, ???? ????? ??????????? ?? ??????????, ??????? ??????????????? ??????????? ????????????? ???????????? ??????????. ? ?????????, ??? ??????????? ??? ????? ???????0 f ? = , 0 f ?? = ?,?????????????, ? ??????? 1 ????????? ????? ????????????? ???????? ?????????????? ????????????? 1 I , 2 I , ??????????? ?? ??????? ??????????? ????????? ???. ???????? ?????????????? ????????????? ?1. Ð?"?????????? ?????????:
Figure 2. ??????????? ??????? 1 .© 1 I
11????? ????????? ???????? ???????????? ??????????? ????? ????? 1/3 ? Ð?"? ????????????? ? ??????? ??????????? ??????, ??? ? ?????? ???????????????? ??????????? ??? ?????? ????????. ???????? ?????????????? ????????????? Year 2022 ??????????? ????? ?????? ??????, ?????? ?????????? ????????????? ? ?? ??????? ?????????? ????????????? Ð?"? ????? ???? ??????????? ? ????? ?????????? ???????????? ??????????? ????? ?????? ??????, ?????? ?????????? ????????????? ? ??????? ???? ??????????. ???????????? ????????? ???????? ???????? ????????????? ??????? 0 ?? ? , ?? ????????? (6) ??????? ? ??????????? ????????????? ?????? ????????????? ???????? ?????????????? ????????????? ?? ???? ??????? ??????????? ?????????, ?????? ??? ???????????? ???????? ??????? ???????????? ???????? ? ?????? ????????? ????????? ?????? R, ?.?. ? ? 2 I ? .
Figure 3. .
????????? ??????? ?????? ? ?????????? ???? 0,2 m n , ??????????? ? [1,8] ? ????????????? ?????????????????? ????????? ?? ?????????? ??? ? ????????? ????????? Ð?"? ?? ??? ????????????? 0 ?? ? . ?-???????, ????????????????? ????? ?????? ????? ????????? ???????????, ?? ?????? ????????? ???????????? ???????????, ?? ? ???????????? ?????????? ?????????? ? ?????? ????? ?????????? ?????????????. ???????? ????????? ?????? ??????? ???????? ????????????? Ð?"? ( 0 ?? ? ), ????? ?????????? ???????? ????? ?????????? ????????????? ?? ???????? (11) ?? ??????? ( )
Figure 4. 2 . 1 I ? ? 2 I ? . 3 . 5 .???. 1 :)
212351?? ????????? ????????????? ? ???????????????? ???, ?????????? ?????????????? ????????????? ?? ????????? ?????????? ????? ?????????? ????????????? ??????, ??????? ???????, ?????? ??????, ?????????????? ????????????? ??????????? ???????? ???????????? ???????????(6).4. ?????????? Ð?"? (3). ?????????? ???????? ???????? ??-???????. ?? ????????? ????????? ?????? ?????????? ???????? ??????? ? ?????????????. ???????, ????????? ????????????? ??? ????? ??????? ??????????????, ??? ?????? ????? ????? ???????????? ?? ???????????? ??????? ????????? ??? ???. ???????? ??????? ? ????????????? ? ???? ?????? ????? ???? ??????????? ?????????? ????????, ????????, ??????? ??? ?????????? ????????????. ?? ???.1 ( 100 n = , 9 m = , ?????????? ????? ????????????? 100) ????????? ??????? ?????? Ð?"? ??? ???: ?????????? (???.1,?, ??? 0.64 k = , ??? ? 1,56 = ), ????????????? (???.1,?, ??? 0.74 k = , ??? ? 1,35 = ), ???????????????? (???.1,?, ??? 0.53 k = , ??? ? 1,89 = ), ??????????? (???.1,?, ??? ?? ???.1 ??????? ????? ????????????? ??????? ???????????, ??????????????? ????????? Ð?"?. ?? ???? © 2022 Global Journals Year 2022 ( ) J Histogram Filter with Adjustment of the Smoothing Parameter based on the Minimization of the Chi-Square Test ? IV. ???????????? ?? ?????????? ?????????????? ??????? V. ????????????? ?????????????? ??????? ??????????? ?? ???.1 ??????? ??????????? ??????????? ? ? , ??? 2 ?? ???????????? ???????? ???????? ???????? ??? ???????? ?????? ?????????? (0,05). ?????????? ?????????????, ???????? ???????????? ???? ?????????? Ð?"?. ????????????? ?????????? Ð?"? ?? ?????????? ?????????? ????????? ?? ???????????? ??? ????????????? ????? ??????????? ????????????? ???????. ?????????? ?????? Ð?"? ? ????.1 (?????????? ????? ????????????? 100) ??????????? ????????? ?????????? ????????????? ?????? Ð?"? (4) ? ????????????? ? ?????????????? ????????????, ??????????? ?? ?????? ??????? (6) ??? ???? ???: ??????????, ?????????????, ????????????. ?? ???.2 ????????? ??????????? ???????????? ??????????? (6) ?? ?????????? ?????????? ????????????? ??? ???? ???: ?????????? (?????? 1, (??????? 2) ? ??????????? ?????????? (???.2) ????????? ??????? ????? ? ???, ??? ???????? ???????????? ??????????? ????????? ??????????? ? ??????????? ?????? ??????. ??? ??????????? ???, ??? ??? ????????????? ?????? ?????? ????????????? ???????????? ??????? ????????????? ?????? ??? ?, ?????????????, ????????? ?? ??????? ????????????, ??????????? ? ???????????? (????????????) ??????????? ( ??? ????? ? ??? ?? ????? ?????????? ?????????????. Year 2022 © 2022 Global Journals ( ) J Histogram Filter with Adjustment of the Smoothing Parameter based on the Minimization of the Chi-Square Test ?? ???.3 (?????????? ????? ????????????? 100) ?? ?????? ??????? (9) (?????? 1.1-1.3), ????????? ??????????? ???? ?????? ?????? ? ?????? ?????????? ?? ????????????? ??? ???? ??????????: ??????????????.3,? ? ????????????????.3,? ??? ????????? ???????? ???????????? ?????????????:
Figure 5. ) -?????? 1 . 3 .,
13?? ??? ?? ???????? ????????? ??? ????????????? ?????????? ???????????? ??????? ????????? ???????, ??????????? ? [1,8] ? ???????????? ???????? ???.
Figure 6. ??????? 2 :???. 3 :
23???????????? ??????????? ? ????????????? Ð?"?, n = 100 ??????????? ????? ?????????? ????????????? ?? ?????? ?????? ????????????? ? ?????? Ð?"? (3) ? ?????????? ????????? ??????????? ????? ???? ?????????? ???????? ? ??????? ????????????? (?????????????) ??? ??? ????? ??????? ?????? ? ?????? ????????? ? ??????? ????????? ?????????? ? ?????????????? ???.

Appendix A

  1. , ? ????? , ? , ??????????? ????????? , ? , ? , ??????? . http://library,keldysh,ru/preprint,asp?id.2013-14 2013, ? 14, 26?.
  2. ?????? ???????????? ??????????? ??????????. ? ? ???????? , ? ? ?????? . ???????????????. ???????. ???-???, 1991. (304?)
  3. ?????????????? ??????????? ? ??????????????? ?????????????? ????????????? ?????? ?????????? // ????i??????????????????ii????????????i. ?2, 2009. ??? ?i?-???, ? ? ?????????? . p. .
  4. ?????????? ????????????? ?????? ????????? ??????????? ?? ?????? ???????? ?????????????? ?????? ????????? ????????????? // ??????? ?????? «Ð?"?????? ?Ð?"???» ??? 19, ? ? ?????????? , ? ? ????? . 2021.
  5. Nonparametric density estimation in high-dimensions. Chong Gu , Yongho Jeon , Yi Lin . Statistica Sinica 2013. 23 p. .
  6. C Solomon , J Breckon , T , P . 10.1002/9780470689776. Fundamentals of Digital Image Processing: A Practical Approach with Examples in Matlab, 2010. Wiley-Blackwell.
  7. On the histogram as a density estimatorr: L2 theory // Zeitschrift fur Wahrscheinlichkeitstheorie verw. D Freedman , P Diaconis . Gebiete 1981. 57 p. .
  8. On optimal and data-based histograms // Biometrika. 1979, D W Scott . p. .
  9. Gonzalez Rafael . OCLC 966609831. Digital image processing, (New York, NY
    ) 2018. Pearson.
  10. Nonparametric Density Estimation: The L1 View, L Devroye , L Gyorfi . 1985. New York: John Wiley Sons.
Home 
Date: 1970-01-01